Спецкурсы
Принципы симметрии в физике твердого тела
Лектор
Сергей Сергеевич Кротов
Профессор, д.ф.-м.н.
Аннотация
Изучение свойств симметрии различных физических систем в терминах теоретико-группового подхода и разработка соответствующей методологической процедуры берут начало с момента формулирования основополагающих идей данной концепции в работах Вейля и Вигнера. За последующие 60-70 лет результаты классиков претерпели дальнейшее всестороннее развитие. При этом усилия ученых и педагогов обуславливались единодушным признанием той громадной роли, которую соответствующие методологии играют как в понимании особенностей поведения, так и, что особенно важно, в предсказании новых свойств различных физических систем. В частности, конструктивное привлечение идей пространственно-временной симметрии к задачам физики твердого тела предоставляет исключительно продуктивный подход для систематизации и описания изучаемых систем в терминах энергии и импульса, других соответствующих глобально инвариантных физических величин. Использование неприводимых представлений (копредставлений) группы преобразований симметрии изучаемой физической системы позволяет логически обоснованно перечислить как принципиально возможные состояния изучаемой системы, так и правила запрета на их взаимные превращения. Важно отметить, что, помимо всего прочего, привлечение идей симметрии существенно упрощает необходимые численные расчеты, позволяет воспользоваться эффективными приближенными методами. Более того, знание свойств симметрии физической системы позволяет критически относиться к обнаруженным аномалиям измеренных величин, с другой стороны, обнаружение неожиданных надежно установленных регулярностей в эксперименте может свидетельствовать о проявлении скрытых симметрий. Как известно, физическая обусловленность всего отмеченного выше определяется исключительно тесной связью между симметрией, инвариантностью и, собственно, динамическими законами. Изложению всех этих вопросов, в большей или меньшей степени, применительно к физике конденсированного состояния и посвящен предлагаемый курс.
Программа курса
- Симметрия и физика.
- Идея симметрии. Преобразования симметрии. Симметрия системы. Примеры — симметрия гамильтониана и симметрия собственных функций.
- Линейные системы и линейные векторные пространства. Линейные операторы.
- Изометрические преобразования обычного трехмерного (Евклидова) пространства и их связь с линейными операторами.
- Активные преобразования точек пространства. Активные преобразования полей. Пример преобразования функций. Активные преобразования и линейные пространства.
- Симметрия и теория групп. Групповые аксиомы. Порядок группы. Группы и их реализация. Группа преобразований симметрии. Точечные группы. Подгруппы.Точечная группа симметрии 32 (D3) — классический пример.
- Кристаллографические точечные группы (для 2D пространства). Циклические группы. Группа трансляций.
- Операция группового сопряжения (отношения эквивалентности). Классы сопряженных (эквивалентных) элементов. Разбиение точечной группы 422 (D4) на классы — простейший пример.
- Левые и правые классы смежности. Инвариантная подгруппа. Нормальный делитель, фактор-группа. Пространственные группы (предварительное рассмотрение).
- Гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм групп.
- Теория представления групп. Представления как гомоморфизм групп. Представления абстрактные и матричные.
- Базисы линейного пространства и матричные представления. Характеры матричного представления.
- Представления точечной группы 422 (D4) в пространстве трехмерных векторов.
- Приводимые и неприводимые представления.
- Пример – представления группы 32 (D3) в пространстве деформаций правильного треугольника.
- Основные свойства неприводимых представлений.
- Основная теорема ортогональности представлений и её следствия.
- Ортогональность характеров неприводимых представлений.
- Расщепление приводимого представления на неприводимые.
- Прямое произведение представлений. Неприводимые представления прямого произведения групп.
- Основное соотношение между характерами неприводимых представлений и числом неприводимых представлений группы. Таблицы характеров. Индуцированные представления. Индуцирование представлений группы из неприводимых представлений подгруппы. Разложение неприводимого представления группы при понижении симметрии на неприводимые представления подгруппы.
- Применение теории представлений к некоторым физическим системам.
- Квантовая механика, симметрия гамильтониана. Уравнение Шредингера. Существенное вырождение. Энергетические зоны – зоны Бриллюэна. Группа волнового вектора. Теорема Блоха.
- Малые колебания симметричных систем. Главные координаты (нормальные моды) и собственные частоты. Лагранжиан системы в симметрических координатах. Пример — нормальные моды квадратной молекулы.
- Кристаллографическая симметрия и пространственные группы.
- Евклидово пространство. Кристаллография. Идеальный кристалл.
- Группы пространственных преобразований. Обратное кристаллографическое пространство. Ячейка Вигнера — Зейтца.
- Симморфные и несимморфные группы.
- Неприводимые представления группы трансляций кристалла. Представления пространственных групп (в общих чертах).
- Симметрия системы относительно обращения (инверсии) времени.
- Операция обращения времени в квантовой механике.
- Спин 1/2 системы и двойные группы.
- Группы магнитной симметрии.
- Представление преобразования обращения времени.
- Тензоры – «материальные» и «полевые».
- Тензоры и их пространственно-временная симметрия.
- Описание и классификация «материальных» тензоров.
- Представления «полевых» тензоров.
- Динамические свойства молекул, твердых тел и поверхностей.
- Теория Ландау фазовых переходов.
- Классификация фазовых переходов.
- Основные положения теории Ландау для фазовых переходов II рода.
- Использование неприводимых представлений при построении симметричной по параметру порядка (упорядочения) неравновесной свободной энергии (потенциала Гиббса) системы с целью последующей ее минимизации.
- Представления о несоразмерно упорядоченных системах. Квазикристаллы.
Литература
2. Г. Я. Любарский. Теория групп и ее применение в физике. Изд.2-е. М.: ЛЕНАНД. 2014.
3. П. С. Киреев. Введение в теорию групп и ее применение в физике твердого тела. М.: Высшая школа. 1979.
4. Дж. Най. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. М.: «Мир». 1967.
5. Дж. Эллиот, П. Добер. Симметрия в физике. Том 1. М.: «Мир». 1983.
6. М. Тинкхам. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука. 1986.
7. М. El-Batanouny, F. Wooten. Symmetry and Condensed Matter Physics. Cambridge University Press. 2008.
8. P. Radaelli. Symmetry in Condensed Matter Physics. Group and Representation Theory. Clarendon Laboratory. Oxford University Press. 2019.
9. D. Arovas. Lecture Notes on Group Theory in Physics (A Work in Progress). Department of Physics. University of California. San Diego. 2023