Методы теории групп в физике конденсированного состояния

1. Симметрия и физика.
• Идея симметрии. Преобразования симметрии. Симметрия системы. Примеры — симметрия гамильтониана и симметрия собственных функций.
2. Линейные системы и линейные векторные пространства. Линейные операторы.
• Изометрические преобразования обычного трехмерного (Евклидова) пространства и их связь с линейными операторами.
• Активные преобразования точек пространства. Активные преобразования полей. Пример преобразования функций. Активные преобразования и линейные пространства.
3. Симметрия и теория групп. Групповые аксиомы. Порядок группы. Группы и их реализация. Группа преобразований симметрии. Точечные группы. Подгруппы.Точечная группа симметрии 32 (D3) — классический пример.
• Кристаллографические точечные группы (для 2D пространства). Циклические группы. Группа трансляций.
• Операция группового сопряжения (отношения эквивалентности). Классы сопряженных (эквивалентных) элементов. Разбиение точечной группы 422 (D4) на классы — простейший пример.
• Левые и правые классы смежности. Инвариантная подгруппа. Нормальный делитель, фактор-группа. Пространственные группы (предварительное рассмотрение).
• Гомоморфизм, изоморфизм и автоморфизм групп.
4. Теория представления групп. Представления как гомоморфизм групп. Представления абстрактные и матричные.
• Базисы линейного пространства и матричные представления. Характеры матричного представления.
• Представления точечной группы 422 (D4) в пространстве трехмерных векторов.
• Приводимые и неприводимые представления.
• Пример – представления группы 32 (D3) в пространстве деформаций правильного треугольника.
5. Основные свойства неприводимых представлений.
• Основная теорема ортогональности представлений и её следствия.
• Ортогональность характеров неприводимых представлений.
• Расщепление приводимого представления на неприводимые.
• Прямое произведение представлений. Неприводимые представления прямого произведения групп.
• Основное соотношение между характерами неприводимых представлений и числом неприводимых представлений группы. Таблицы характеров. Индуцированные представления. Индуцирование представлений группы из неприводимых представлений подгруппы. Разложение неприводимого представления группы при понижении симметрии на неприводимые представления подгруппы.
6. Применение теории представлений к некоторым физическим системам.
• Квантовая механика, симметрия гамильтониана. Уравнение Шредингера. Существенное вырождение. Энергетические зоны – зоны Бриллюэна. Группа волнового вектора. Теорема Блоха.
• Малые колебания симметричных систем. Главные координаты (нормальные моды) и собственные частоты. Лагранжиан системы в симметрических координатах. Пример — нормальные моды квадратной молекулы.
7. Кристаллографическая симметрия и пространственные группы.
• Евклидово пространство. Кристаллография. Идеальный кристалл.
• Группы пространственных преобразований. Обратное кристаллографическое пространство. Ячейка Вигнера — Зейтца.
• Симморфные и несимморфные группы.
• Неприводимые представления группы трансляций кристалла. Представления пространственных групп (в общих чертах).
8. Симметрия системы относительно обращения (инверсии) времени.
• Операция обращения времени в квантовой механике.
• Спин 1/2 системы и двойные группы.
• Группы магнитной симметрии.
• Представление преобразования обращения времени.
9. Тензоры – «материальные» и «полевые».
• Тензоры и их пространственно-временная симметрия.
• Описание и классификация «материальных» тензоров.
• Представления «полевых» тензоров.
10. Динамические свойства молекул, твердых тел и поверхностей.
11. Теория Ландау фазовых переходов.
• Классификация фазовых переходов.
• Основные положения теории Ландау для фазовых переходов II рода.
• Использование неприводимых представлений при построении симметричной по параметру порядка (упорядочения) неравновесной свободной энергии (потенциала Гиббса) системы с целью последующей ее минимизации.
12. Представления о несоразмерно упорядоченных системах. Квазикристаллы.

Основная

• М. Хамермеш. Теория групп и ее применение к физическим системам. Изд.4-е. M.: URSS. 2017.
• Г. Я. Любарский. Теория групп и ее применение в физике. Изд.2-е. М.: ЛЕНАНД. 2014.
• П. С. Киреев. Введение в теорию групп и ее применение в физике твердого тела. М.: Высшая школа. 1979.
• Дж. Най. Физические свойства кристаллов и их описание при помощи тензоров и матриц. М.: «Мир». 1967.
• Дж. Эллиот, П. Добер. Симметрия в физике. Том 1. М.: «Мир». 1983.
• М. Тинкхам. Теория групп и квантовая механика. М.: Наука. 1986.

Дополнительная

• М. El-Batanouny, F. Wooten. Symmetry and Condensed Matter Physics. Cambridge University Press. 2008.
• P. Radaelli. Symmetry in Condensed Matter Physics. Group and Representation Theory. Clarendon Laboratory. Oxford University Press. 2019.
• D. Arovas. Lecture Notes on Group Theory in Physics (A Work in Progress). Department of Physics. University of California. San Diego. 2023